LOGARITMA

Pengertian logaritma sebagai invers ( kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan melalui pembahasan berikut ini :

Contoh :

a.       2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2  = 16

b.      10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000

Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah!  Permasalahannya adalah bagaimana cara menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:

Misal :

a.       Berapa n, jika 2ⁿ = 16

b.      Berapa x, jika 10^x = 1.000

Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma. Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut :

a.       2ⁿ = 16 maka n = ²log 16 = ²log 2⁴ = 4

b.      10^x = 1.000 maka x = ¹⁰log 1.000 = ¹⁰log 10³ = 3

Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi :

Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a ( ditulis ^alog x) adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.

Dirumuskan :

 ^alog x = n artinya x = aⁿ         untuk a > 0 ; a ≠ 1 dan x > 0

a disebut bilangan pokok

x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan  x > 0

n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis

      Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh – contoh berikut ini dengan teliti agar kamu tidak menemui hambatan di kemudian hari .

Contoh 1.

1.      Nyatakan dalam bentuk logaritma:

a.       3⁴ = 81

b.        =

c.       0,001 = 10^-3

Jawab:

a.       3⁴ = 81 Û ³log 81 = 4

b.        =  Û ² log   =

c.       0,001 = 10^-3    Û   ¹⁰log 0,001 = -3

2.      Nytakan dalam bentuk pangkat

a.       ⁵log 25 = 2

b.      ³log  = -3

c.       ^alog b = c

Jawab :

a.       ⁵log 25 = 2 Û 25 = 5²

b.      ³log  = -3 Û  = 3^-3

c.       ^alog b = c Û b = a^c

3.      Tentukan nilai logaritma berikut!

a.       ²log 32

b.      ³log 3 

c.       ²log

Jawab :

a.       ²log 32 = ²log 2⁵ = 5

b.      ³log 3 = ³log  = 1

c.       ²log  = ²log  =

a.      Sifat-sifat logaritma

Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu :

Sifat 1

^alog x + ^alog y = ^alog xy

Contoh :

Sederhanakanlah !

a.       ²log 4 + ²log 8

b.      ³log  + ³log 81

c.       ²log + ²log

Jawab :

a.       ²log 4 + ²log 8 = ²log 4 . 8 = ²log 32 = 5

b.      ³log  + ³log 81= ³log  . 81 = ³log 9 = 2

c.       ²log  + ²log  = ²log  . = ²log 16 = 4

Sifat 2

^alog x – ^alog y = ^alog                                                                                                                             

Contoh:

Sederhanakanlah!

a.       ²log 16 – ² log 8

b.      log 1.000 – log 100

c.       ³log 18 – ³log 6

Jawab :

a.       ²log 16 – ² log 8 =  ²log   = ²log 2 = 1

b.      log 1.000 – log 100 = log  = log 10 = 1

c.       ³log 18 – ³log 6 = ³log  = 1

Sifat 3

 ^alog xⁿ = n . ^alog x

Contoh :

Sederhanakan!

a.       2 log 3 + 4 log 3

b.      2 log a + 2 log b

Jawab:

a.       2 log 3 + 4 log 3 = log 3² + log 3⁴

   = log 9 + log 81

   = log 9 . 81

   = log 729

b.      2 log a + 2 log b = log a² + log b²

   = log a² . b²

   = log (ab)²

                           Ingat : 1. log ²x = log x . log x = (log x)²

log x² = 2 log x

Jadi log ²x ≠ log x²

2. Log ^-1x =

Log x^-1 = log   = -log x

Jadi  log ^-1x ≠ log x^-1

Sifat 4                

a.       ^alog x =           

b.      ^glog a =

Contoh :

³log 7  x  ⁷log 81

Jawab :

a.       ³log 7  x  ⁷log 81  =  

   = 

   = 

   =  = 4

b.      ³log 7  x  ⁷log 81 =

=

=   = 4

Sifat 5

= x

Contoh :

a.      

b.     

Jawab :

 a.   = = 5² = 25

                   b   = = = 

Sifat 6

Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :

a.       a

b.      Jika m = n maka diperoleh  :

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Untuk p dan a bilangan real positif p ≠ 1 maka :

Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya tetap.

Contoh :

Hitunglah !

1.      ⁸log 16

2.      ⁸log 64

3.      Jika ³log 5 = a hitunglah  ²⁵log 27

Jawab :

1.      ⁸log 16 =  = =  =

2.      ⁸log 64 = 

3.      ³log 5 = a, maka :

²⁵log 27 =  

Sifat 7

Perhatikan uraian dibawah ini!

Misalkan n = ^plog a, maka a = pⁿ, oleh karena n = ^plog a, maka pⁿ =  = a (karena a = pⁿ) sehingga disimpulkan :

Untuk p dan a bilangan real p ≠ 1 maka  = a

  Contoh :

Sederhanakan !

a.        

b.        

c.      

Jawab :

a.        =  = x²

b.         =  =  = a²

c.        =  

                     =  

                     =  

                     =                                      = 2 x

                     =                                            =           

                     =                                                     sifat 7

                     =                                                  mengubah eksponen ke akar